Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c的圖像如圖，直線y=0在原點處與函數圖像相切，且此切線與函數圖像所圍成的區域（陰影）面積為 ．
（1）求f（x）的解析式
（2）若常數m＞0，求函數f（x）在區間[﹣m，m]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖像知，f（0）=0，得c=0，

f′（x）=3x2+2ax+b，由f′（0）=0，得b=0，

∴f（x）=x3+ax2=x2（x+a），

令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，

可以得到圖像與x軸交點為（0，0），（﹣a，0），

故對﹣f（x）從0到﹣a求定積分即為所求面積，即 [﹣f（x）]dx= ，

∫0﹣a（﹣x3﹣ax2）dx= ，解得a=﹣3．

∴f（x）=x3﹣3x2

（2）解：由（1）知f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）．則x，f'（x），f（x）的取值變化情況如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	單調遞增	極大值f（0）=0	單調遞減	極小值f（2）=﹣4	單調遞增

又f（3）=0，

①當0＜m≤3時，f（x）max=f（0）=0；

②當m＞3時， ．

綜上可知

【解析】（1）根據圖像所過點（0，0），及y=0與在原點處與函數圖像相切可求b，c，由題目中給出了區域的面積，我們可以從定積分著手，求出函數以及函數與x軸的交點，建立方程可求解參數．（2）利用導數求出函數的極值，求出函數的零點，分0＜m≤3，m＞3兩種情況進行討論，借助圖像可求得函數的最大值；