Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為、， 為橢圓的右頂點， ， 分別為橢圓的上、下頂點.線段的延長線與線段交于點，與橢圓交于點.（1）若橢圓的離心率為， 的面積為12，求橢圓的方程；（2）設 ，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率為，得是等腰直角三角形，再由勾股定理及橢圓定義得， ， ，因此，解得， .（2）因為，所以，即，再由直線的方程與直線的方程求出交點，可得P點坐標： ， ，最后代入橢圓方程化簡得，轉化為離心率 ，利用基本不等式求最小值.

試題解析：解：（1）是等腰直角三角形，由勾股定理知，

解得，

， ， ，

則，即， .

所以橢圓的方程為.

（2）設，因為直線的方程為，直線的方程為，

所以聯立方程解得.

因為，所以，所以，

所以，所以， ，

代入橢圓的方程，得，

即 ，

所以 ，

因為所以，所以當且僅當即時，

取到最小值.