Question

【題目】解答題
（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；
（2）設a2﹣2ab+5b2=4對a，b∈R成立，求a+b的最大值及相應的a，b．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，對x分3種情況討論：

①當x＜0時，原不等式可化為﹣2x+1＜﹣x+1，

解得x＞0，又x＜0，則x不存在，

此時，不等式的解集為．

②當0≤x＜ 時，原不等式可化為﹣2x+1＜x+1，

解得x＞0，又0≤x＜ ，

此時其解集為{x|0＜x＜ }．

③當x≥ 時，原不等式可化為2x﹣1＜x+1，解得x＜2，

又由x≥ ，

此時其解集為{x| ≤x＜2}，

∪{x|0＜x＜ }∪{x| ≤x＜2}={x|0＜x＜2}；

綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}

設a2﹣2ab+5b2=4對a，b∈R成立，求a+b的最大值及相應的a，b．

（2）解：設a+b=x，則原方程化為8a2-12ax+5x2-4=0,此方程有實根，則△=144x2﹣4×8（5x2﹣4）≥0，解得 ，所以a+b的最大值為2 ，此時a= ，b=

【解析】（1）對x分情況討論，去絕對值；然后分別解之；（2）設a+b=x，則原方程化為關于a的一元二次方程的形式，利用判別式法，得到x的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式在最值問題中的應用的相關知識，掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”，以及對絕對值不等式的解法的理解，了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．