Question

【題目】已知數列{an}的首項a1=1，且an+1=2an+1（n∈N*）
（Ⅰ）證明數列{an+1}是等比數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn= ，求數列{bn}的前n項和Sn；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下對任意正整數n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1），

∴數列{an+1}是等比數列，首項為2，公比為2．

∴an+1=2n，解得an=2n﹣1．

解：（Ⅱ）bn= = ，

數列{bn}的前n項和Sn= +…+ ，

∴ = +…+ + ，

相減可得： = +…+ ﹣﹣ = ﹣ ，

可得：Sn=2﹣ ．

（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下對任意正整數n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na，

化為：（﹣1）na＜1﹣ ．

n為奇數時，a＞﹣ ，可得a＞﹣ ．

n為偶數時，a＜1﹣ ．可得a ．

∵對任意正整數n，不等式Sn+ ﹣1＞（﹣1）na恒成立，

∴ ．

∴實數a的取值范圍是 ．

【解析】（）（1）由an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1），即可得出數列{an+1}是等比數列，根據等比數列的通項公式，從而得到an的通項公式，（2）由（1）中an的通項公式表示出bn，通過錯位相減可求得數列{bn}的前n項和Sn，（3）在（2）的條件下，不等式Sn+ ﹣1＞（-1）na，可化為：（﹣1）na＜1﹣ ,對a進行分類討論，可得到實數a的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．