Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）
（1）若直線x﹣y﹣2=0過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程，并求出準線方程；
（2）設p=2，A，B是C上異于坐標原點O的兩個動點，滿足OA⊥OB，△ABO的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為（ ，0），

由于點（ ，0）在直線x﹣y﹣2=0上，得 ，即p=4，

所以拋物線C的方程為y2=8x，其準線方程為x=﹣2

（2）解：∵p=2，∴C：y2=4x．設AB：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2）．

將AB的方程代入C得：y2﹣4my﹣4n=0．

∵OA⊥OB，∴ =x1x2+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2=0．

將y1+y2=4m，y1y2=﹣4n代入上式得n=4

∴△AOB的面積S= =2 =8

∴m=0時，即A（4，4），B（4，﹣4）時，△AOB的面積最小，最小值為16

【解析】（1）拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為（ ，0），由點（ ，0）在直線x﹣y﹣2=0上，能求出拋物線C的方程及其準線方程．（2）由p=2，知C：y2=4x．設AB：x=my+n，將AB的方程代入C得：y2﹣4my﹣4n=0． 由OA⊥OB，得 =x1x2+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2=0．將y1+y2=4m，y1y2=﹣4n代入上式得n=4．由此能求出m=0時，△AOB的面積最小，最小值為16．