Question

如圖，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC．

（1）求證：AC⊥BB₁；
（2）若P是棱B₁C₁的中點(diǎn)，求平面PAB將三棱柱分成的兩部分體積之比．

Answer 1

（1）詳見解析; （2）.

試題分析：（1）要證，可轉(zhuǎn)化為去證明垂直于含有的平面，再由題中所給線面垂直，結(jié)合面面垂直的判定定理，可以判斷得出，最后結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，由題中所給線線垂直，可以得到，進(jìn)而不難證得;（2）根據(jù)題意過(guò)三點(diǎn)的平面與原三棱柱的截面是一個(gè)四邊形，由可
得截面是一個(gè)梯形，又由是的中點(diǎn)可得也是的中點(diǎn)，這樣可得出兩部分當(dāng)中下方是一個(gè)棱臺(tái)，結(jié)合棱臺(tái)的體積公式不難得出它的體積，最后由已知總體積可求出另一部分的體積，進(jìn)而求出體積之比．
試題解析：（1）在三棱柱中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030158828656.png" style="vertical-align:middle;" />，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030158906578.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，所以平面，所以.
（2）設(shè)平面與棱交于，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030158719289.png" style="vertical-align:middle;" />為棱的中點(diǎn)，所以是棱的中點(diǎn)，連接，設(shè)三棱柱的底面積為，高為，體積為，則，