Question

已知α，β∈（0，

π

2

），滿足tan（α+β）=4tanβ，則tanα的最大值是．

• A、

  1

  4

• B、

  2

  4

• C、

  3

  4

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數

專題：三角函數的求值

分析：利用兩角和的正切將tan（α-β）=4tanβ，轉化，整理為關于tanβ的一元二次方程，利用題意，結合韋達定理即可求得答案．

解答： 解：∵tan（α-β）-4tanβ=0，
∴

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

-4tanβ=0，
∴4tanαtan²β-3tanβ+tanα=0，①
∴α，β∈（0，

π

2

），
∴方程①有兩正根，tanα＞0，
∴△=9-16tan²α≥0，
∴0＜tanα≤

3

4

．
∴tanα的最大值是

3

4

．
故選D．

點評：本題考查兩角和與差的正切函數，考查一元二次方程中韋達定理的應用，考查轉化思想與方程思想，也可以先求得tanα，再利用基本不等式予以解決，屬于中檔題．