Question

在三角形ABC中，sin2CcosC+

3

cosC=cos2CsinC+

3

．
（1）求角C的大小；
（2）若AB=2，且sinBcosA=sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,三角形的面積公式

專題：解三角形

分析：（1）利用已知條件通過兩角和的正弦函數化簡為角C的三角方程，求出角C的三角函數值，然后求出C的大小；
（2）利用二倍角化簡sinBcosA=sin2A，求出A的值，然后求解三角形ABC的面積．

解答： 解：（1）在三角形ABC中，sin2CcosC+

3

cosC=cos2CsinC+

3

．
化簡得：sinC=

3

-

3

cosC，即sinC+

3

cosC=

3

，
得2sin（C+

π

3

）=

3

，則sin（C+

π

3

）=

3

2

．
故C+

π

3

=

π

3

或

2π

3

（舍），則C=

π

3

．（6分）
（2）因為sinBcosA=sin2A=2sinAcosA，所以cosA=0或sinB=2sinA．
當cosA=0時，A=90°，則b=

2

3

，S△ABC=

1

2

bc=

1

2

×

2

3

×2=

2 3

3

；（8分）
當sinB=2sinA時，由正弦定理得b=2a．
由cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+4a2-4

2a×2a

=

1

2

，可知a²=

4

3

． （10分）
所以S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2a×a×

3

2

=

3

2

a2=

2 3

3

．（12分）

點評：本題考查正弦定理的應用余弦定理分應用，三角形的面積的求法，兩角和與差的三角函數，考查計算能力．