Question

設橢圓ax²+by²=1與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，點C是AB的中點，若|AB|=2

2

，OC的斜率為

2

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：先根據題意設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐標是方程組

ax2+by2=1 x+y-1=0

的解．兩式相減，得出b與a的關系，再由方程組消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得a，b值，從而求得橢圓的方程．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐標是方程組

ax2+by2=1 x+y-1=0

的解．
由ax₁²+by₁²=1，ax₂²+by₂²=1，兩式相減，得
a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因為

y1-y2

x1-x2

=-1，
所以

y1+ y2

x1+x2

=

a

b

，
即

2yc

2xc

=

a

b

，

yc

xc

=

a

b

=

2

2

，所以b=

2

a①
再由方程組消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由|AB|=

( x1-x2)  2+(y1-y2) 2

=

2(x1-x2)2

=

2[(x1+x2) 2-4x1x2]

=2

2

，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（

2b

a+b

）²-4•

b-1

a+b

=4．②
由①②解得a=

1

3

，b=

2

3

，
故所求的橢圓的方程為

x2

3

+

2  y2

3

=1．

點評：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式，再利用對稱點所連線段被對稱軸垂直平分來列式求解．