Question

設橢圓ax²+by²=1與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，點C是AB的中點，若|AB|=2，OC的斜率為，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：先根據題意設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐標是方程組的解．兩式相減，得出b與a的關系，再由方程組消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得a，b值，從而求得橢圓的方程．
解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐標是方程組的解．
由ax+by=1，ax+by=1，兩式相減，得
a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因為=-1，
所以=，
即=，==，所以b=a①
再由方程組消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由|AB|===
=2，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（）²-4•=4．②
由①②解得a=，b=，
故所求的橢圓的方程為+=1．
點評：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式，再利用對稱點所連線段被對稱軸垂直平分來列式求解．