Question

設橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1相交于A、B兩點,且|AB|=2.又AB的中點M與橢圓中心連線的斜率為,求橢圓的方程.

Answer 1

橢圓方程為+y²=1.

解析:

將橢圓方程與直線方程聯立,消去y并整理得(a+b)x²-2bx+b-1=0.

設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴|AB|=|x₁-x₂|

=·

=2·

=,

y₁+y₂=1-x₁+1-x₂=2-(x₁+x₂)=,k_OM=.

由題意知

解之,得

故所求橢圓方程為+y²=1.