Question

【題目】在平面直角坐標系中，過點作傾斜角為的直線，以原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，將曲線上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線，直線與曲線交于不同的兩點.

（1）求直線的參數方程和曲線的普通方程；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（1）直線的參數方程為，曲線的普通方程為；（2）

【解析】

（1）根據直線參數方程的知識求得直線的參數方程，將的極坐標方程轉化為直角坐標方程，然后通過圖像變換的知識求得的普通方程.

（2）將直線的參數方程代入曲線的普通方程，化簡后寫出韋達定理，根據直線參數的幾何意義，求得的值.

直線的參數方程為，

由兩邊平方得，所以曲線的直角坐標方程式,

曲線的方程為,即.

(2)直線的參數方程為，代入曲線的方程得：

設對應得參數分別為,則