Question

某班共有學生40人，將一次數學考試成績（單位：分）繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．
（Ⅰ）請根據圖中所給數據，求出a的值；
（Ⅱ）從成績在[50，70）內的學生中隨機選3名學生，求這3名學生的成績都在[60，70）內的概率；
（Ⅲ）為了了解學生本次考試的失分情況，從成績在[50，70）內的學生中隨機選取3人的成績進行分析，用X表示所選學生成績在[60，70）內的人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

（Ⅰ）根據頻率分布直方圖中的數據，可得a=

1-(0.005+0.0075+0.0225+0.035)×10

10

=0.1-0.07=0.03，
所以a=0.03．…（2分）
（Ⅱ）學生成績在[50，60）內的共有40×0.05=2人，在[60，70）內的共有40×0.225=9人，
成績在[50，70）內的學生共有11人．…（4分）
設“從成績在[50，70）的學生中隨機選3名，且他們的成績都在[60，70）內”為事件A，
…（5分）
則P(A)=

C 39

C 311

=

28

55

．…（7分）
所以選取的3名學生成績都在[60，70）內的概率為

28

55

．
（Ⅲ）依題意，X的可能取值是1，2，3．…（8分）P(X=1)=

C 22 C 19

C 311

=

3

55

；
P(X=2)=

C 12 C 29

C 311

=

24

55

；
P(X=3)=P(A)=

28

55

．…（10分）
所以X的分布列為

ξ	1	2	3
P	3 55	24 55	28 55

…（11分）
Eξ=1×

3

55

+2×

24

55

+3×

28

55

=

27

11

．…（13分）