Question

【題目】若以曲線上任意一點為切點作切線，曲線上總存在異于的點，以點為切點作切線，且，則稱曲線具有“可平行性”，現有下列命題：

①函數的圖象具有“可平行性”；

②定義在的奇函數的圖象都具有“可平行性”；

③三次函數具有“可平行性”，且對應的兩切點， 的橫坐標滿足；

④要使得分段函數的圖象具有“可平行性”，當且僅當.

其中的真命題個數有（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】由“可平行性”的定義,可得曲線y=f(x)具有“可平行性”,則方程y′=a(a是導數值)至少有兩個根。

①函數y=(x2)2+lnx,則y′=2(x2)+ = (x>0),方程,即2x2(4+a)x+1=0,當時有兩個相等正根，不符合題意；

②定義在(∞,0)∪(0,+∞)的奇函數,如y=x3, 則,方程,當時有兩個相等實數根，不符合題意；

③三次函數f(x)=x3x2+ax+b,則f′(x)=3x22x+a,滿足題意時， 的一元二次方程的實數根，即，命題③正確；

④函數y=ex1(x<0),y′=ex∈(0,1)，

函數y=x+1x,y′=11x2=x21x2=11x2,由11x2∈(0,1),得1x2∈(0,1)，∴x>1，則m=1.

故要使得分段函數的圖象具有“可平行性”，

當時， ，且導函數單調遞增，

當時， 的值域應該是，

結合冪函數的性質和函數的平移性質可得導函數在上單調遞增，且， ，據此可得m=1.

真命題個數為2個.

本題選擇B選項.