Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F（2，0），過F得直線交橢圓與A，B兩點，若AB的中點為 (

1

2

，

1

2

)，則C得到方程為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：k_AB=

1 2 -0

1 2 -2

=-

1

3

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，兩式相減可得a²=3b²．由c=2，a²=b²+c²，聯立解得即可．

解答： 解：k_AB=

1 2 -0

1 2 -2

=-

1

3

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，
∴

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，
∴

1

a2

+

- 1 3

b2

=0，化為a²=3b²．
由c=2，a²=b²+c²，
聯立解得a²=6，b²=2．
∴橢圓的標準方程為：

x2

6

+

y2

2

=1．
故答案為：

x2

6

+

y2

2

=1．

點評：本題考查了“點差法”、橢圓的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．