Question

【題目】已知函數.

（1）當時，證明： 為偶函數；

（2）若在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）若，求實數的取值范圍，使在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）代入，根據函數奇偶性的定義，即可判定為偶函數；

（2）利用函數單調性的定義，求得函數在上單調遞增，進而得到對任意的恒成立，即可求解實數的取值范圍；

（3）由（1）、（2）知函數的最小值，進而得，設，得不等式恒成立，等價于，進而恒成立，利用二次函數的性質即可求解實數的取值范圍．

試題解析：

（1）當時， ，定義域關于原點對稱，

而，說明為偶函數；

（2）在上任取、，且，

則，

因為，函數為增函數，得， ，

而在上單調遞增，得， ，

于是必須恒成立，

即對任意的恒成立，

；

（3）由（1）、（2）知函數在上遞減，在上遞增，

其最小值，

且，

設，則，

于是不等式恒成立，等價于，

即恒成立，

而，僅當，即時取最大值，

故