Question

如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，，交于點(diǎn)，
平面，，．
（1）證明：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）.

試題分析：（1）①根據(jù)在處取得極值，求導(dǎo)將帶入到導(dǎo)函數(shù)中，聯(lián)立方程組求出的值；②存在性恒成立問(wèn)題，，只需，進(jìn)入通過(guò)求導(dǎo)求出的極值，最值.（2）當(dāng)的未知時(shí)，要根據(jù)中分子是二次函數(shù)形式按進(jìn)行討論.
試題解析：（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020456229535.png" style="vertical-align:middle;" />.
①,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020456042447.png" style="vertical-align:middle;" />在處取和極值，故,
即，解得.
②由題意：存在，使得不等式成立，則只需
由，令則，令則或，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
所以在處取得極小值，
而最大值需要比較的大小,
,
,
比較與4的大小，而，所以

所以
所以.
（2）當(dāng) 時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，∵ ，則在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，設(shè)，只需，從而得，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
綜上可得，.