Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，高AA₁為3，底面ABCD為長方形且面積為

7

2

，則該直四棱柱外接球表面積的最小值為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：設長方形的長、寬分別為a，b，則ab=

7

2

，直四棱柱外接球的半徑為

1

2

a2+b2+9

≥

1

2

2ab+9

=2，（當且僅當a=b時取等號），即可求出該直四棱柱外接球表面積的最小值．

解答： 解：設長方形的長、寬分別為a，b，則ab=

7

2

，
直四棱柱外接球的半徑為

1

2

a2+b2+9

≥

1

2

2ab+9

=2，（當且僅當a=b時取等號）
∴該直四棱柱外接球表面積的最小值為4π×2²=16π．
故答案為：16π．

點評：本題考查直四棱柱外接球表面積的最小值，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．