Question

橢圓以坐標軸為對稱軸，且經過點、.記其上頂點為，右頂點為.
（1）求圓心在線段上，且與坐標軸相切于橢圓焦點的圓的方程；
（2）在橢圓位于第一象限的弧上求一點，使的面積最大.

Answer 1

（1）圓的方程為；
（2）當點的坐標為，的面積最大.

試題分析：（1）先將橢圓的方程為，利用待定系數法求出橢圓的方程，并求出橢圓的焦點坐標，利用圓與坐標軸相切于焦點，且圓心在線段上，從而求出圓心的坐標以及圓的半徑，進而求出圓的方程；（2）法一是根據參數方程法假設點的坐標，并計算出點到線段的距離和線段的長度，然后以為底邊，為的高計算的面積的代數式，并根據代數式求出的面積的最大值并確定點的坐標；法二是利用的面積取最大值時，點處的切線與線段平行，將切線與橢圓的方程聯立，利用確定切線的方程，進而求出點的坐標.
試題解析：（1）設橢圓的方程為，則有，解得，
故橢圓的方程為，故上頂點，右頂點，
則線段的方程為，即，
由于圓與坐標軸相切于橢圓的焦點，且橢圓的左焦點為，右焦點為，
若圓與坐標軸相切于點，則圓心在直線上，此時直線與線段無交點，
若圓與坐標軸相切于點，則圓心在直線上，聯立，解得，
即圓的圓心坐標為，半徑長為，
故圓的方程為；
（2）法一：設點的坐標為，且，
點到線段的距離 
，
，則，故，故，
，而，
則，
故當時，即當時，的面積取到最大值為，
此時點的坐標為；
法二：設與平行的直線為，
當此直線與橢圓相切于第一象限時，切點即所求點，
由得：①
令①中，有：，
又直線過第一象限，故，解得，
此時由①有，
代入橢圓方程，取，解得.故.