Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，CP=m
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為 ；
（2）在線段A1C1上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，AP與平面BDD1B1相交于點(diǎn)G，

連接OG，因?yàn)镻C∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，

故OG∥PC，所以，OG= PC= ．

又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，

故∠AGO是AP與平面BDD1B1所成的角．

在Rt△AOG中，tan∠AGO= ，即m= ．

所以，當(dāng)m= 時(shí)，直線AP與平面BDD1B1所成的角的正切值為4 ．

（2）解：可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)

因?yàn)镈1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，

所以 D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．

那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直．

【解析】（1）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，AP與平面BDD1B1相交于點(diǎn)，連接OG，證明AO⊥平面BDD1B1，說(shuō)明∠AGO是AP與平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，利用直線AP與平面BDD1B1所成的角的正切值為4 ．求出m的值．（2）點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點(diǎn)，使得對(duì)任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，通過(guò)證明 D1O1⊥平面ACC1A1，D1O1⊥AP．利用三垂線定理推出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．