Question

對于實數a和b，定義運算“?”：a?b=

a2-ab， a≤b b2-ab， a＞b

，設f（x）=（3x-1）?（x-1）．且關于x的方程f（x）=m恰有三個不相等的實數根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意首先化簡函數f（x）=

2x(3x-1)，x≤0 -2x(x-1)，x＞0

；從而作函數的圖象輔助求解．

解答： 解：由題意，
當x≤0時，3x-1≤x-1；
則f（x）=（3x-1）?（x-1）
=（3x-1）（3x-1-x+1）
=2x（3x-1）；
當x＞0時，3x-1＞x-1；
則f（x）=（3x-1）?（x-1）
=（x-1）（-3x+1+x-1）
=-2x（x-1）；
則f（x）=

2x(3x-1)，x≤0 -2x(x-1)，x＞0

；
作函數f（x）=

2x(3x-1)，x≤0 -2x(x-1)，x＞0

的圖象如下，

不妨設x₁＜x₂＜x₃，易知x₂+x₃=1；
而由0＜2x₁（3x₁-1）＜

1

2

及x₁＜0解得，
-

1

6

＜x₁＜0；
故

5

6

＜x₁+x₂+x₃＜1；
故答案為：（

5

6

，1）．

點評：本題考查了學生對新定義的接受能力及函數的化簡，屬于基礎題．