Question

已知數列{a_n}的通項公式a_n=

1

n2

，證明{a_n}的前n項和小于

7

4

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：對n分類討論n=1和n≥2，當n≥2時利用n²＞n²-1得

1

n2

＜

1

n2-1

，由放縮法和裂項相消求和法進行證明．

解答： 解：當n=1時，s₁=a₁=1＜

7

4

，
當n≥2時，n²＞n²-1，則

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，
所以數列{a_n}的前n項和S_n＜1+

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=1+

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）=

7

4

-

1

2

（

1

n

+

1

n+1

）＜

7

4

，
綜上得，數列{a_n}的前n項和S_n＜

7

4

．

點評：本題考查利用放縮法證明數列有關不等式的問題，以及裂項相消求和法，屬于中檔題．