Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直直角梯形ABPE所在的平面于直線AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.

（1）求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；

（2）在線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，當N在點D處時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于.

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，先求平面PCD的一個法向量，易知平面ABPE的一個法向量，再利用面面角的向量方法求解.

（2）假設線段PD上存在點N，設＝λ，則有＝＋＝(2λ，2－2λ，λ),再根據直線BN與平面PCD所成角α滿足sinα＝.由sinα＝|cos〈，〉|＝＝即＝求解.

（1） 由AE⊥AB，且AE∥BP，得BP⊥AB.所以∠CBP是直二面角C-AB-P的平面角．

以為正交基底，建立空間直角坐標系Bxyz.

B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，2，0)，E(2，1，0)，C(0，0，1)，D(2，0，1)．

＝(0，－2，1)，＝(2，0，0)．

設平面PCD的一個法向量為＝(a，b，c)，

由，不妨取＝(0，1，2)．

易知平面ABPE的一個法向量為＝(0，0，1)．

設平面PCD與平面ABPE所成的二面角的大小為θ，

則由圖可知θ∈.

cosθ＝|cos〈，〉|＝＝.

所以平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值為.

（2） 假設線段PD上存在點N，使得直線BN與平面PCD所成角α滿足sinα＝.

即sinα＝|cos〈，〉|＝＝.

設＝λ＝λ(2，－2，1)，其中λ∈[0，1].

＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)．

由（1）知平面PCD的一個法向量＝(0，1，2)，

所以＝，

即9λ2－8λ－1＝0，

解得λ＝1或λ＝ (舍去)．

以當N在點D處時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于.