Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ.

（1）若λ＝1，求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；

（2）若二面角B1- A1C1-D的大小為60°，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量的坐標和平面A1C1D的一個法向量，再利用線面角的向量方法求解.

（2設D(x，y，0)，根據＝λ，得到D(，，0)，表示＝(0，4，0)，＝(，，－2)，求得平面A1C1D的一個法向量，又易知平面A1B1C1的一個法向量，再根據二面角B1- A1C1-D的大小為60°，由|cos〈n1，n2〉|＝求解.

（1）分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(0，4，2)．

當λ＝1時，D為BC的中點，

所以D(1，2，0)，＝(1，－2，2)，＝(0，4，0)，＝(1，2，－2)，

設平面A1C1D的法向量為n1＝(x,y,z)，

則得

所以取n1＝(2，0，1)，

又cos〈，n1〉＝＝＝，

所以DB1與平面A1C1D所成角的正弦值為

（2）因為＝λ，

設D(x，y，0)，所以＝(x－2，y，0)，＝(－x，4－y，0)，

所以x－2＝－λx，y＝λ(4－y)，

即x＝，y＝.

所以D(，，0)，

所以＝(0，4，0)，＝(，，－2)，

設平面A1C1D的法向量為n1＝(x,y,z)，

則即

所以取n1＝(λ＋1，0，1)．

又平面A1B1C1的一個法向量為n2＝(0，0，1)，

由題意得|cos〈n1，n2〉|＝，

所以＝＝，

解得λ＝－1或λ＝－－1(不合題意，舍去)，

所以實數λ的值為－1