Question

京廣高鐵的貫通，帶動(dòng)了沿線某站點(diǎn)所在市旅游業(yè)的發(fā)展．在車站附近，有一塊邊長為100m的正方形地皮，如圖ABCD所示，其中AST是一半徑為90m的扇形小山，其余部分都是平地．市政府決定在平地上建一個(gè)矩形停車場，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在弧ST上，相鄰兩邊CQ、CR落在正方形的邊BC、CD上．求矩形停車場PQCR面積S的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)∠PAB=θ，求出AM和PM的值，進(jìn)而可得PQ，PR 的值，由此求得S=PQ•PR 的值，設(shè)sinθ+cosθ=t，則 sinθcosθ=

t2-1

2

，代入S化簡得S=4050（t-

10

9

）²+950，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S=f（θ）的最大值和最小值．

解答： 解：設(shè)∠PAB=θ（0°≤θ≤90°），延長RP交AB于點(diǎn)M．
則AM=90cos θ，MP=90sin θ，則PQ=MB=AB-AM=100-90cos θ，PR=MR-MP=100-90sin θ，
所以S=PQ•PR=（100-90cos θ）（100-90sin θ）=10000-9000（sin θ+cos θ）+8100sin θcos θ．（6分）
令t=sin θ+cos θ（1≤t≤

2

），則sin θ•cos θ=

t2-1

2

．
所以S=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050（t-

10

9

）²+950．
故當(dāng)t=

10

9

時(shí)，S有最小值950 m²；當(dāng)t=

2

時(shí)，S有最大值（14050-9000

2

）m²．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換，以及二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．