Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，A為銳角，已知向量

p

=（1，

3

cos

A

2

），

q

=（2sin

A

2

，1-cos2A），且

p

∥

q

．
（1）求角A的大小；
（2）求函數(shù)f（x）=cosA•cos2x+

3

2

•sin2x，x∈[-

π

6

，

π

3

]的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示可得關(guān)于A的三角關(guān)系式，然后利用和差公式化簡，求出A
（2）利用和差公式化簡f（x）=

6

2

sin（2x+

π

4

），再根據(jù)自變量的范圍，求求出最大值

解答： 解：（1）∵

p

=（1，

3

cos

A

2

），

q

=（2sin

A

2

，1-cos2A），且

p

∥

q

．
∴1×（1-cos2A）-

3

cos

A

2

•2sin

A

2

=0，
∴cos2A+

3

sin2A=1，
∴2sin（2A+

π

6

）=1，
∴2A+

π

6

=

π

2

+2kπ，
∴A=Kπ+

π

6

，
∵A為銳角，
∴A=

π

6

（2）f（x）=cosA•cos2x+

3

2

•sin2x=

3

2

（cos2x+sin2x）=

6

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

4

∈[-

π

12

，

11π

12

]，
∴當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為

6

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示的應(yīng)用和差公式公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題