Question

若函數y=f（x）在其圖象上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為自公切線，下列函數存在自公切的序號為

②③

；
①y=ln|x+1|；  ②y=x²-|x|；③y=xcosx；④y=

x2-1

．

Answer 1

分析：利用新定義，①y=ln|x+1|在（-∞，0）上單調減，（0，+∞）上單調增，不存在自公切線；②y=x²-|x|是偶函數，圖象對稱的頂點的坐標為(

1

2

，-

1

4

)，(-

1

2

，-

1

4

)，存在自公切線y=-

1

4

；③y=xcosx是奇函數，導函數為y′=cosx-xsinx，則x軸為函數的自公切線；④y=

x2-1

的圖象為x²-y²=1x軸上方的部分，不存在自公切線，故可得到結論．

解答：解：①y=ln|x+1|在（-∞，0）上單調減，（0，+∞）上單調增，不存在自公切線，故①不存在；
②y=x²-|x|是偶函數，圖象對稱的頂點的坐標為(

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2

，-

1

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)，(-

1

2

，-

1

4

)，存在自公切線y=-

1

4

；
③y=xcosx是奇函數，導函數為y′=cosx-xsinx，則x軸為函數的自公切線；
④y=

x2-1

的圖象為x²-y²=1x軸上方的部分，不存在自公切線，故④不存在，
故答案為：②③

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關鍵是理解新的定義，屬于中檔題．