Question

如圖在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，頂點A1在底面ABC上的射影恰為點B，且AB=AC=A1B=2.
 
(1)證明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）若點P為B₁C₁的中點，求三棱錐P-ABC與四棱錐P-AA₁B₁B的體積之比.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）1:1.

試題分析：（1）根據直線與平面垂直的性質可得,而已知，由直線與平面垂直的判定定理可得面，根據平面與平面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）由已知可知，=2是三棱錐P ABC的高，△ABC是等腰直角三角形，可計算出求三棱錐P ABC的體積.由于AC⊥平面AB₁B，點P為B₁C₁的中點，可知點P到平面距離等于點到平面的距離的一半,計算出四棱錐P AA₁B₁B的體積即可求解.
試題解析：證明：（1）由題意得：平面ABC，
∴,      2分
又，
∴AC垂直平面AB₁B，      3分
∵面，∴平面平面；      5分
（2）在三棱錐中，因為，
底面是等腰直角三角形，

又因為點P到底面的距離=2，所以.      6分
由（1）可知AC⊥平面AB₁B，
因為點P在B₁C₁的中點，
所以點P到平面AA₁B₁B距離h₂等于點C₁到平面AA₁B₁B的距離的一半，即h₂=1.      8分
,      10分
所以三棱錐P ABC與四棱錐P AA₁B₁A₁的體積之比為1:1.      12分