Question

【題目】已知函數=，；

(1)討論的單調性;

(2)若不等式≥在(0,1)上恒成立,求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出導函數后，按a≤0，0＜a＜，a=，a＞分類討論，根據導數和函數的單調性的關系即可求單調區間（2）由（1）的單調性分類求f（x）的最小值，用最小值使不等式成立代替恒成立．

（1）∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣2lnx，x＞0，

∴f′（x）==，

①當a≥0時，令f′（x）＜0，得0＜x＜2；令f′（x）＞0，得x＞2；

②當a＜0時，令f′（x）=0，得x=﹣或x=2；

（Ⅰ）當﹣＞2，即﹣時，令f′（x）＜0，得0＜x＜2或x＞﹣；令f′（x）＞0，得 2＜x＜﹣；

（Ⅱ）當﹣=2時，即a=﹣時，則f′（x）＜0恒成立；

（Ⅲ）當﹣＜2時，即a＜﹣時，令f′（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞2； 令f′（x）＞0，得﹣＜x＜2；

綜上所述：當a≥0時，f（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增；

當﹣時，f（x）在（0，2）和（﹣，+∞）上遞減，在（2，﹣）上遞增；

當a=﹣時，f（x）在（0，+∞）上遞減；

當a＜﹣時，f（x）在（0，﹣）和（2，+∞）上遞減，在（﹣，2）上遞增．

（2）由（1）得①當a≥﹣時，f（x）在（0，1）上遞減，

∴f（1）=1﹣a≥，∴﹣；

②當a＜﹣時，

（Ⅰ）當﹣≤1，即a≤﹣1時，f（x）在（0，﹣）上遞減，在（﹣，1）上遞增，

∴f（﹣）=2﹣+2ln（﹣a）≥2﹣≥，∴a≤﹣1符合題意；

（Ⅱ）當﹣＞1，即﹣1＜a＜﹣時，f（x）在（0，1）上遞增，

∴f（1）=1﹣a＞，∴﹣1＜a＜﹣符合題意；

綜上，實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣]．