Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時，求的極值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若有2個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最大值，最小值；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出的解，列表確定在正負(fù)，從而確定的單調(diào)性，得極值；

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，對分類討論：，，時，求出解，再由解的大小分類討論得單調(diào)區(qū)間；

（3）根據(jù)（2）所得單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得結(jié)論．

，

（1）當(dāng)時，，令得或1

		0		1
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

∴，

（2），

①當(dāng)時，因為，所以，

令得：，令得：

所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

②當(dāng)時，令得，或

1°即時，或解時，，時，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增

2°即時，在R上恒成立，所以在上單調(diào)遞增

3°即時，或時，

，時，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增

綜上所述，

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增

（3）

1°當(dāng)時，，只有一個零點；

2°當(dāng)時，由（2）可知

，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)

所以而，

所以，當(dāng)時，，使，

當(dāng)時，，所以，

所以

取，則，

所以，所以函數(shù)有2個零點.

3°當(dāng)時，，令得，

①，即時，由（2）可得：，

∴函數(shù)至多有一個零點，不符合題意；

②時，，在單調(diào)遞增，

所以至多有一個零點，不合題意

③當(dāng)時，即時，，時，，.

所以，函數(shù)至多有1個零點

綜上：a的取值范圍是