Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，離心率為，為橢圓的左頂點，，為橢圓上異于的兩個動點，直線，與直線分別交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若與的面積之比為，求的坐標；

（3）設直線與軸交于點，若，，三點共線，判斷與的大小關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），理由見解析

【解析】

（1）根據焦點，離心率可得出橢圓方程；

（2）將與的面積之比轉化為邊長之比，再次轉化為向量之間的等量關系，從而求解的坐標；

（3）要求與的大小關系，由于均是銳角，故可借助正切來進行比較大小，設出，，，根據題意可求出三者之間的關系，從而用一個量來表示與的正切，進而可比較出大小關系.

解：（1）由題意得，又，

解得，．

，．

橢圓的方程為；

（2）解：與的面積之比為，

，則，

設，，

則，

解得，．

將其代入，解得．

的坐標為或；

（3），證明如下.

證明：設，，，

若，則為橢圓的右頂點，由，，三點共線知，

為橢圓的左頂點，不符合題意．

．

同理．

設直線的方程為．

由消去，

整理得．

恒成立．

由韋達定理得到：，

解得．

．

得．

當時，，，即直線軸．

由橢圓的對稱性可得．

又，

．

當時，，

直線的斜率，

同理．

，，三點共線，

，

得．

在和中，

，

，

．

，均為銳角，

．

綜上，若，，三點共線，則．