Question

已知為橢圓上的三個點，為坐標原點.
（1）若所在的直線方程為，求的長；
（2）設為線段上一點，且，當中點恰為點時，判斷的面積是否為常數，并說明理由.

Answer 1

（1）;（2）定值為

試題分析：（1）因為求所在的直線方程為與橢圓方程相交所得的弦長.一般是通過聯立兩方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，可以解得兩個交點的坐標的橫坐標，確定點的坐標，從而根據兩點的距離公式求出弦長.
（2）直線與圓的位置關系，首先考慮直線的斜率是否存在，做好分類的工作.若當斜率存在時，通過聯立方程，應用韋達定理知識，求出弦長，利用點到直線的距離公式求出三角形的高的長.從而寫出三角形的面積（含斜率的等式）.再根據的關系求出點P的坐標，帶到橢圓方程中，即可求出含斜率的一個等式，從而可得結論.
試題解析：（1）由  得，
解得或，
所以兩點的坐標為和所以.
（2）①若是橢圓的右頂點（左頂點一樣），則，
因為，在線段上，所以，求得，
所以的面積等于.
②若B不是橢圓的左、右頂點，設，，
由 得
，，
所以，的中點的坐標為，
所以，代入橢圓方程，化簡得.
計算.
因為點到的距離 
所以，的面積.
綜上，面積為常數.