Question

【題目】如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．

（1）求炮的最大射程；

（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）炮的最大射程是10千米．

（2）當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標．

【解析】

試題（1）求炮的最大射程即求（k＞0）與x軸的橫坐標，求出后應用基本不等式求解．（2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，由一元二次方程根的判別式求解

試題解析：（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，

由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0，

故x＝＝≤＝10，當且僅當k＝1時取等號．所以炮的最大射程為10千米．

（2）因為a＞0，所以炮彈可擊中目標

存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立

關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根

判別式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0

a≤6.

所以當a不超過6（千米）時，可擊中目標．