Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數），其中.

（1）在區間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

（2）若函數的兩個極值點為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）存在，最小值為；（2）證明見詳解

【解析】

（1）對函數求導，令，得兩根，從而得出的單調區間.由用作差法比較與的大小，結合，可知，則在區間單調遞減，則其取得最小值；
（2）由的韋達定理，得，則可消去a，得，.通過兩邊取對數，得和，將其代入需證不等式.再得，采用換元法，反證法，將所求不等式轉化為.再用換元法，令 構造函數，利用導函數求其最值，則可證明不等式.

.

解：（1）由條件可函數在上有意義，

，

令，得，，

因為，所以，.

所以當時，，當上，

所以在上是增函數，在是減函數.

由可知，

當時，，當時，，

當時，，

因為，

所以，

又函數在上是減函數，且，

所以函數在區間上的有最小值，

其最小值為.

（2）由（1）可知，當時函數存在兩個極值點，

且是方程的兩根，

所以，且，

，，

所以，

，

所以

，

又，

由（1）可知，

設，，則，

故要證成立，

只要證成立，

下面證明不等式成立，

構造函數，

則，所以在上單調遞增，

，即成立，

令，即得不等式，

從而成立.