Question

【題目】拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（4，4），焦點為F；
（1）求拋物線的焦點坐標和標準方程：
（2）P是拋物線上一動點，M是PF的中點，求M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（4，4），

設拋物線解析式為y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2

∴拋物線標準方程為：y2=4x，焦點坐標為F（1，0）

（2）解：設M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中點

則x0+1=2x，0+y0=2 y

∴x0=2x﹣1，y0=2 y

∵P是拋物線上一動點，∴y02=4x0

∴（2y）2=4（2x﹣1），化簡得，y2=2x﹣1．

∴M的軌跡方程為 y2=2x﹣1

【解析】（1）先設出拋物線方程，因為拋物線過點（4，4），所以點（4，4）的坐標滿足拋物線方程，就可求出拋物線的標準方程，得到拋物線的焦點坐標．（2）利用相關點法求PF中點M的軌跡方程，先設出M點的坐標為（x，y），P點坐標為（x0 ， y0），把P點坐標用M點的坐標表示，再代入P點滿足的方程，化簡即可得到m點的軌跡方程．