Question

【題目】已知在四棱柱，側棱底面， ， ，且， ， ，側棱.

（1）若為上一點，試確定點的位置，使平面；

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）當時， 平面.（2）

【解析】試題分析：（1）以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，設點E的坐標，由，設，可求點E的坐標，進而確定點E的位置； （2）由圖求平面的一個法向量，再求平面的一個法向量，利用公式求二面角的余弦值.

試題解析：（1）當時， 平面.

如圖，以， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，連接，則， ， ， ， .

設，則， ， .

平面， 不妨設，

.

，解得.

所以當點的坐標為， 時，

平面.

（2）連接， ， 平面，

向量為平面的一個法向量.

設平面的一個法向量為，而，

,

，解得.

.

所以二面角的余弦值為.