Question

【題目】已知圓：，其圓心在拋物線：上，圓過原點且與拋物線的準線相切.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，過點且垂直于直線的直線交拋物線的準線于點.求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意可知：，求解可得拋物線方程；

（2）分兩種情況求解：①當動弦所在的直線斜率不存在時，易得；②當動弦所在的直線斜率存在時，設所在直線方程為，且，，聯立，由弦長公式及韋達定理表示出；又所在的直線方程為，可求得點，計算求其范圍即可.

（1）由題意可知：，

解得，所以拋物線的標準方程為.

（2）①當動弦所在的直線斜率不存在時，易得，；

②當動弦所在的直線斜率存在時，易知的斜率不為0，

設所在直線方程為，且，，

聯立方程組，消去得；

∴，，且；

∴；

所在的直線方程為，

聯立方程組，求得點，∴，

∴；綜上所述，的最小值為2.