Question

【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（1）若，求函數在處的切線方程；

（2）若函數在定義域上恰有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍；

（3）設函數在區間)上存在極值，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）證明見解析

【解析】

（1）利用導數求函數在處的切線方程；（2）對分兩種情況討論，當時，再分三種情況結合導數分類討論；（3）先求出，要使得在上存在極值，則須滿足即分析推理即可得到.

（1）當時，，，，，

所以函數在處得切線方程為．

（2）因為，，，

所以．

①若，則，在上是單調增函數，

所以在上至多一個零點，與題意不符合．

②若，令，得．

		0
		極小值

（ⅰ）若，即時，有且僅有一個零點，與題意不符．

（ⅱ）若，即時，，，

又，且的圖像在上不間斷，

所以存在，使得．

此時，在恰有兩個不同得零點和．

所以符合題意．

（ⅲ）若，即時，．

令，，，

所以在上是單調增函數，，

所以在上是單調增函數，．

所以，且，的圖像在上不間斷，

所以存在，使得．

此時，在恰有兩個不同得零點和．

所以符合題意．

綜上所述，實數的取值范圍是或．

（3）依題意，．

則，令，，，

所以在上是單調增函數．

要使得在上存在極值，

則須滿足即

所以，，即．

由（2）可知，當時，，

所以，．

所以，即，

所以．