Question

已知函數，其中a為常數．
（1）當時，求的最大值；
（2）若在區間（0，e］上的最大值為，求a的值；
（3）當時，試推斷方程=是否有實數解．

Answer 1

(1)=f（1）=-1；(2)a=；(3)方程|f（x）|=沒有實數解.

解析試題分析：(1)當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+
由0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.
知f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數，從而=f（1）=-1.
(2)利用導數確定函數的最大值得，=f=-1+ln
由-1+ln=-3，即得a=.
(3)由（1）知當a=-1時=f（1）=-1，可知|f（x）|≥1；
應用導數研究g（x）=,得到=g（e）=<1,即g(x)<1，
根據|f（x）|>g(x),即|f(x)|>知方程|f（x）|=沒有實數解.
試題解析：(1)當a=-1時，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+
當0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.
∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數，=f（1）=-14分
(2)∵f′(x)=a+，x∈(0,e］，∈
①若a≥，則f′(x)≥0，f(x)在(0,e］上增函數
∴=f（e）=ae+1≥0.不合題意 5分
②若a<，則由f′(x)>0>0，即0<x<
由f(x)<0<0，即<x≤e.從而f(x)在上增函數,在為減函數
∴=f=-1+ln
令-1+ln=-3，則ln=-2∴=，即a=.
∵<,
∴a=為所求     8分
(3)由（1）知當a=-1時=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1
又令g（x）=,g′（x）=,令g′(x)=0，得x=e,
當0<x<e時，g′(x)>0,g(x)在(0,e)單調遞增；當x>e時,g′(x)<0，g(x)在(e,+∞)單調遞減∴=g（e）=<1,∴g(x)<1
∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>∴方程|f（x）|=沒有實數解.  12分
考點：應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，不等式恒成立問題，函數與方程.