Question

如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側視圖為正三角形，俯視圖為正方形（尺寸如圖所示），E為VB的中點．
（1）求證：VD∥平面EAC；
（2）求二面角A-VB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證VD∥平面EAC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證VD與平面EAC內一直線平行即可，而連接BD交AC于O點，連接EO，由已知易得VD∥EO，VD?平面EAC，EO?平面EAC，滿足定理條件；
（2）設AB的中點為P，則VP⊥平面ABCD，建立坐標系，利用向量的夾角公式，可求二面角A-VB-D的余弦值．

解答：（1）證明：由正視圖可知：平面VAB⊥平面ABCD
連接BD交AC于O點，連接EO，由已知得BO=OD，VE=EB
∴VD∥EO
又VD?平面EAC，EO?平面EAC
∴VD∥平面EAC；
（2）設AB的中點為P，則VP⊥平面ABCD，建立如圖所示的坐標系，
則

PO

=（0，1，0）
設平面VBD的法向量為

n

=(x，y，z)
∵

BD

=(-2，2，0)，

VB

=(1，0，-

3

)
∴由

n ⊥ BD n ⊥ VB

，可得

-2x+2y=0 x- 3 z=0

，∴可取

n

=（

3

，

3

，1）
∴二面角A-VB-D的余弦值cosθ=

n • PO

| n || PO |

=

21

7

點評：本題考查三視圖，考查了直線與平面平行的判定，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．