Question

如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）

（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)為

9

2

，∠CEF=90°時(shí)，求二面角A-EF-C的大小．

Answer 1

分析：（1）要證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面DCF中三條已知直線與AE都不平行，故我們要考慮在平面DCF中做一條與AE可能平行直線輔助線，然后再進(jìn)行證明．
（2）要求二面角的大小，要先構(gòu)造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出這個(gè)平面角的大小，進(jìn)而給出二面角的大小．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，
可得四邊形BCGE為矩形，
又四邊形ABCD為矩形，所以AD=EG，
從而四邊形ADGE為平行四邊形
故AE∥DG
因?yàn)锳E?平面DCF，DG?平面DCF，
所以AE∥平面DCF
（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH，BH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，
從而AH⊥EF．所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角

在Rt△EFG中，因?yàn)镋G=AD=

3

，EF=2．
∴∠GFE=60°，F(xiàn)G=1．又因?yàn)椤唷螱EF=90°，
所以CF=4，從而BE=CG=3．于是BH=BE•sin∠BEH=

3 3

2

．
在RT△AHB中，AB=

9

2

，則tanAHB=

AB

BH

=

3

，
因?yàn)?°＜∠AHB＜180°，
所以∠AHB=60°，所以二面角A-EF-C的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．本題也可以用空間向量來(lái)解決，其步驟是：建立空間直角坐標(biāo)系?明確相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)?明確相關(guān)向量的坐標(biāo)?通過(guò)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．