Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（單位：cm），E為PA的中點．
（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

Answer 1

（1）設PB的中點為F，連接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，
所以EF∥DC，且EF=DC=

1

2

AB，
故四邊形CDEF為平行四邊形，
可得ED∥CF．（4分）
ED?平面PBC，CF?平面PBC，
故DE∥平面PBC．（7分）
（2）PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PD，
又因為AB⊥AD，PD∩AD=D，
AD?平面PAD，PD?平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．（10分）
ED?平面PAD，故ED⊥AB，
又PD=AD，E為PA之中點，故ED⊥PA；（12分）
PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DE⊥平面PAB．（14分）