Question

（2009•大連二模）已知正四面體ABCD的所有棱長均為3

6

，頂點A、B、C在半球的底面內，頂點D在半球面上，且D點在半球底面上的射影為半球的球心，則此半球的體積為

144π

．

Answer 1

分析：由題意求出正四面體的高，就是球的半徑，然后求出球的體積．

解答：解：由題意正四面體ABCD的所有棱長均為3

6

，頂點A、B、C在半球的底面內，頂點D在半球面上，且D點在半球底面上的射影為半球的球心，可知正四面體的高就是球的半徑，
所以底面ABC的中心到頂點A的距離：

2

3

×

3

2

×3

6

=3

2

，
所以球的半徑為：

(3 6 )2-(3 2 )2

=6．
所以半球的體積為：

2

3

πr3=

2

3

π63=144π．
故答案為：144π．

點評：本題考查球的內接體，球的半徑與球的體積的求法，考查空間想象能力與計算能力．