Question

【題目】某休閑農莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=25 米，為了便于游客休閑散步，該農莊決定在魚塘內建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°．

（1）設∠BOE=α，試將△OEF的周長l表示成α的函數關系式，并求出此函數的定義域；
（2）經核算，三條走廊每米建設費用均為4000元，試問如何設計才能使建設總費用最低并求出最低總費用．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，

∴OE=

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，

∴OF= ．

又∠EOF=90°，

∴EF= = ，

∴l=OE+OF+EF= ．

當點F在點D時，這時角α最小，此時α= ；

當點E在C點時，這時角α最大，求得此時α= ．

故此函數的定義域為[ ， ]；

（2）解：由題意知，要求鋪路總費用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．

由（1）得，l= ，α∈[ ， ]，

設sinα+cosα=t，則sinαcosα= ，

∴l= =

由t=sinα+cosα= sin（α+ ），

又 ≤α+ ≤ ，得 ，

∴ ，

從而當α= ，即BE=25時，lmin=50（ +1），

所以當BE=AF=25米時，鋪路總費用最低，最低總費用為200000（ +1）元

【解析】（1）要將△OEF的周長l表示成α的函數關系式，需把△OEF的三邊分別用含有α的關系式來表示，而OE，OF，分別可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，從而可求．（2）要求鋪路總費用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．由（1）得l= ，α∈[ ， ]，利用換元，設sinα+cosα=t，則sinαcosα= ，從而轉化為求函數在閉區間上的最小值．