Question

已知橢圓Γ：(a＞b＞0)經(jīng)過D(2，0)，E(1，)兩點(diǎn).
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)若直線與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)射線OG交Γ于點(diǎn)Q，且.
①證明：
②求△AOB的面積.

Answer 1

(1)；(2)

解析試題分析：(1)由已知M是PD的中點(diǎn)，利用P點(diǎn)在圓上，可以求出M的點(diǎn)軌跡方程為；(2)點(diǎn)Q在(1)中的橢圓上，G是OQ的中點(diǎn)，利用直線與橢圓的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可找到k與m的關(guān)系，并進(jìn)一步求出三角形AOB的面積.
試題解析：(1)由題意，得，解得
∴軌跡Γ的方程為；          5分
(2)①令
由消去y
得          6分
∴，即  (1)
∴
又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得
將代入橢圓方程，有
化簡(jiǎn)得：  (2)          9分
②由(1)(2)得
且  (3)
在△AOB中，  (4)          12分
∴由(2)(3)(4)可得
∴△AOB的面積是              13分
考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)軌跡，直線與橢圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角形的面積.