Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC中，E，F分別為AB，AC邊的中點，N為BC邊上一點，且CN= BC，將△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M為EF中點．

（1）求證：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，取BC的中點G，連接MG，則MG⊥EF，

∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB=EF，

∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，

因此可以建立空間直角坐標系．不妨設BC=4．

M（0，0，0），A′（0，0， ），N（﹣1， ，0），

B（2， ，0），F（﹣1，0，0）．

=（0，0， ）， =（﹣1， ，0），

=（1，0， ）， =（3， ，0）．

設平面A′MN的法向量為 =（x，y，z），

則 ，即 ，

取 = ．

同理可得平面A′BF的法向量 = ．

∵ =3﹣3+0=0，∴ ，

∴平面A′MN⊥平面A′BF

（2）解：由（1）可得平面A′BF的法向量 = ．

取平面EA′F的法向量 =（0，1，0）．

則cos = = =- ，

由圖可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角為銳角，

∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）如圖所示，取BC的中點G，連接MG，則MG⊥EF，利用面面與線面垂直的性質與判定定理可得：MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空間直角坐標系．不妨設BC=4．只要證明平面法向量的夾角為直角即可證明平面A′MN⊥平面A′BF．（2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．