Question

【題目】已知點是圓： 上任意一點，點與圓心關于原點對稱.線段的中垂線與交于點.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設點，若直線軸且與曲線交于另一點，直線與直線交于點，證明：點恒在曲線上，并求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：⑴根據題目條件并結合橢圓定義，即可求得動點的軌跡方程；

⑵設點坐標為，則點的坐標為，進而表示出直線與直線

交于點的坐標，即可證明點恒在橢圓上，設直線： ， ， ，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系得到，代入三角形的面積公式，可得，利用換元法，即可求得面積的最大值。

解析：（1）由題意得， 點坐標為，因為為中垂線上的點，所以，

又，所以，

由橢圓的定義知， ， .

所以動點的軌跡方程： .

（2）證明：設點坐標為，則點的坐標為，且，

所以直線： ，即，

直線： ，即；

聯立方程組，解得， ，則

.

所以點恒在橢圓上.

設直線： ， ， ，

則由，消去整理得，

所以， ，

所以

，

從而

，

令，則函數在上單調遞增，

故，所以，

即當時， 面積取得最大值，且最大值為.