【題目】如圖，在多面體
中，四邊形
為正方形，
，
，
.
（1）證明：平面
平面
.
（2）若
平面
，二面角
為
，三棱錐
的外接球的球心為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
證明
平面
即可證明平面
平面
（2）由題確定二面角
的平面角為
，進而推出
為線段
的中點，以
為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系
由空間向量的線面角公式求解即可
（1）證明：因為四邊形
為正方形，
所以
，
又
，
，
所以平面.
因為
平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知平面，又
，則
平面，從而
，
又
，所以二面角的平面角為
.
以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系
，如圖所示，
則
，
，
.
因為三棱錐
的外接球的球心為，所以為線段的中點，
則的坐標(biāo)為
，
.
設(shè)平面
的法向量為
，則
，
即
令
，得
.
易知平面
的一個法向量為
，
則
.
由圖可知，二面角
為銳角，
故二面角的余弦值為.
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知動圓P恒過定點
，且與直線
相切．
（Ⅰ）求動圓P圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩點C、D在軌跡M上，求正方形的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進.高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動，保證學(xué)生健康成長的有效措施.程度2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行測試，得到下邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：
每分鐘跳繩個數(shù) |
|
|
|
|
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；；
（Ⅱ）若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)
服從正態(tài)分布
，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本方差
（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：
預(yù)計全年級恰有2000名學(xué)生，正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）
若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195以上的人數(shù)為ξ，求隨機變量的分布列和期望.
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則
，
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點，具體方法如下：（l）取線段AB＝2，過點B作AB的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取BC＝
AB，連接AC；（2）以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點D；（3）以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交AB于點E．則點E即為線段AB的黃金分割點．若在線段AB上隨機取一點F，則使得BE≤AF≤AE的概率約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：
2.236）
A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公交公司為了方便市民出行、科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站，為研究車輛發(fā)車間隔時間
（分鐘）與乘客等候人數(shù)
（人）之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：
間隔時間 |
|
|
|
|
|
|
等候人數(shù) |
|
|
|
|
|
|
調(diào)查小組先從這
組數(shù)據(jù)中選取
組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的
組數(shù)據(jù)進行檢驗．檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù)
，再求與實際等候人數(shù)的差，若差值的絕對值不超過
，則稱所求線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”．
（1）從這組數(shù)據(jù)中隨機選取
組數(shù)據(jù)后，求剩下的組數(shù)據(jù)的間隔時間之差大于的概率；
（2）若選取的是后面組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程
，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”；
（3）在（2）的條件下，為了使等候的乘客不超過
人，則間隔時間最多可以設(shè)置為多少分鐘？（精確到整數(shù)）
參考公式：
，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在正三棱柱
中，AB=3，
=4，M為的中點，P是BC邊上的一點，且由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱
到M點的最短路線長為
，設(shè)這條最短路線與的交點為N，求
（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長.
（2）PC和NC的長
（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數(shù)表示）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在
處取得極值，不等式
對
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）當(dāng)
時，證明不等式
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分13分） 已知雙曲線
的兩個焦點為
的曲線C上.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點，過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為
求直線l的方程
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知直線
：
與焦點為
的拋物線
：
相切.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）過點的直線
與拋物線交于
，
兩點，求，兩點到直線的距離之和的最小值.
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