Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數在處取得極值，不等式對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，證明不等式.

Answer 1

【答案】（1）當時函數在上單調遞減; 當時函數在上單調遞減，在上單調遞增;（2）;（3）詳見解析

【解析】

試題（1）先求導，討論導數的正負，導數正得增區間，導數負得減區間．在解不等式的過程中注意討論的符號．（2）由（1）知函數的極值點是,則．可將轉化為,令,求導,討論導數的符號,判斷函數的單調性,從而求其最小值．則應小于等于函數的最小值．（3）因為,則，．則證明．構造函數,證此函數在上單調遞增即可．即證在上即可．

試題解析：（1）解 ．

當時，，從而，

函數在上單調遞減；

當時，若，則，從而，

若，則，從而，

函數在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）解 根據（1）函數的極值點是，若，則．

所以，即，

由于，即．

令，則，

可知為函數在內唯一的極小值點，也是最小值點，故，

所以的最小值是，

故只要即可，

故的取值范圍是．

（3）證明不等式．

構造函數，

則，

可知函數在上，

即函數在上單調遞增，由于，

所以，所以，

所以．