Question

在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對邊，已知cos2A=-

1

4

．
（1）求sinA；
（2）當c=2，2sinC=sinA時，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,二倍角的余弦

專題：解三角形

分析：（1）由cos2A=-

1

4

，利用倍角公式可得1-2sin2A=-

1

4

，由于A∈（0，π），可得sinA＞0．
解得sinA=

10

4

．
（2）由于c=2，2sinC=sinA，由正弦定理可得a=2c=4．sinC=

10

8

．由于a＞c，可得cosC=

1-sin2C

．由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，解得b，利用△ABC的面積S=

1

2

bcsinA即可得出．

解答： 解：（1）∵cos2A=-

1

4

，
∴1-2sin2A=-

1

4

，化為sin²A=

5

8

，
∵A∈（0，π），∴sinA＞0．
∴sinA=

10

4

．
（2）∵c=2，2sinC=sinA，由正弦定理可得a=2c=4．
∴sinC=

10

8

．
∵a＞c，∴cosC＞0．
∴cosC=

1-sin2C

=

3 6

8

．
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴4=16+b2-8b×

3 6

8

，
化為b2-3

6

b+12=0，解得b=

6

或2

6

．
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

15

或

15

2

．

點評：本題考查了正弦定理與余弦定理的應用，考查了同角三角函數基本關系式、倍角公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．